A identidade de Euler é uma igualdade encontrada na matemática que foi comparada a um soneto de Shakespeare e descrita como "a mais bela equação". 

Equação de Euler. crédito da imagem: domínio público

É um caso especial de uma equação fundamental na aritmética complexa chamada Fórmula de Euler, que o falecido grande físico Richard Feynman chamou em suas palestras de "nossa joia" e "a fórmula mais notável da matemática". 

Em uma entrevista à BBC, o Prof. David Percy do Institute of Mathematics and its Applications disse que a Identidade de Euler era “um verdadeiro clássico e você não pode fazer melhor do que isso... É simples de olhar e ainda assim incrivelmente profundo, compreende as cinco constantes matemáticas mais importantes.”

A identidade de Euler é escrita simplesmente como:  eiπ + 1 = 0

As cinco constantes são:

• O número 0.
• O número 1.
• O número π, um número irracional (com dígitos infinitos) que é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. É aproximadamente 3,14159...
• O número e, também um número irracional. É a base dos logaritmos naturais que surge naturalmente por meio do estudo de juros compostos e cálculo. O número e permeia a matemática, aparecendo aparentemente do nada em um grande número de equações importantes. É aproximadamente 2.71828…
• O número i, definido como a raiz quadrada de um negativo: √ (-1). O mais fundamental dos números imaginários, assim chamado porque, na realidade, nenhum número pode ser multiplicado por si mesmo para produzir um número negativo (e, portanto, os números negativos não têm raízes quadradas reais). Mas, em matemática, existem muitas situações em que alguém é forçado a tirar a raiz quadrada de um negativo. A letra i é, portanto, usada como uma espécie de substituto para marcar os locais onde isso foi feito.

Matemático prolífico

Leonhard Euler foi um matemático do século 18, nascido na Suíça, que desenvolveu muitos conceitos que são essenciais para a matemática moderna. Ele passou a maior parte de sua carreira em São Petersburgo, Rússia. Ele foi um dos matemáticos mais prolíficos de todos os tempos, de acordo com a US Naval Academy (USNA), com 886 artigos e livros publicados. Grande parte de sua produção veio durante as últimas duas décadas de sua vida, quando ele era totalmente cego. Houve tanto trabalho que a Academia de São Petersburgo continuou publicando seu trabalho postumamente por mais de 30 anos.

As contribuições importantes de Euler incluem a Fórmula de Euler e o Teorema de Euler, ambos podendo significar coisas diferentes dependendo do contexto. De acordo com a USNA, na mecânica, existem "ângulos de Euler (para especificar a orientação de um corpo rígido), teorema de Euler (que toda rotação tem um eixo), equações de Euler para o movimento dos fluidos e a equação de Euler-Lagrange (que vem do cálculo das variações)."

Multiplicando números complexos

A identidade de Euler decorre naturalmente de interações de números complexos que são números compostos de duas peças: um número real e um número imaginário; um exemplo é 4+3i. Números complexos aparecem em uma infinidade de aplicações, como mecânica de ondas (um estudo dentro da mecânica quântica) e projetos de circuitos que usam corrente alternada (uma prática comum em engenharia elétrica). Além disso, os números complexos (e seus primos, os números hipercomplexos) têm uma propriedade que os torna especialmente úteis para estudar computação gráfica, robótica, navegação, dinâmica de voo e mecânica orbital: multiplicá-los juntos faz com que girem. Essa propriedade nos ajudará a entender o raciocínio por trás da Identidade de Euler.

No exemplo abaixo, cinco números complexos são plotados no plano complexo e juntos formam uma "forma de casa". O plano complexo é semelhante a uma reta numérica, exceto que é bidimensional. A direção horizontal representa os números reais e o eixo vertical representa os números imaginários. Cada número complexo em forma de casa é multiplicado pelo número complexo 4+3i e re-plotado (seta verde).

Como pode ser visto, a multiplicação por 4+3i resulta na dilatação da forma da casa (aumentando em área e se afastando da origem 0+0i na mesma quantidade) e girando (tornando-se inclinada em algum ângulo). Para mostrar que isso é precisamente o efeito da multiplicação por 4+3i, o efeito de aumentar o zoom na casa cinco vezes e girar em 36,9 graus também é mostrado (seta vermelha). Exatamente o mesmo efeito é produzido.

O mesmo efeito é produzido multiplicando os vértices de uma figura por 4+3i, girando a figura 36,9 graus e dilatando-a por um fator de cinco. Crédito da imagem: Robert J. Coolman

Diferentes quantidades de dilatação e rotação podem produzir os efeitos da multiplicação por qualquer número no plano complexo.

Forma polar de números complexos

A quantidade de rotação e dilatação é determinada por propriedades intrínsecas ao número 4+3i, que, como visto na figura abaixo, está a cinco unidades da origem (r = 5) e forma um ângulo de 36,9 graus com o eixo horizontal (φ = 36,9°). Essas medições são usadas no que é conhecido como a forma polar de um número complexo (reiφ) em oposição à forma retangular normal (a + bi).

O número 4+3i está a cinco unidades da origem e forma um ângulo de 36,9 graus com o eixo horizontal. Crédito da imagem: Robert J. Coolman

A forma polar requer que φ seja medido em radianos. Um radiano (1 ^rad) é aproximadamente 57,3 graus; é a medida do ângulo feita quando o raio de um círculo é envolvido pela circunferência desse círculo. Uma medida de π radianos envolve a metade de um círculo; uma medida de 2π radianos envolve um círculo completo.

Uma medida de ângulo de um radiano é formada quando o raio de um círculo é envolvido em sua circunferência. Um semicírculo tem π ??radianos e um círculo completo tem 2π radianos. Crédito da imagem: Robert J. Coolman

A medida do ângulo para 4+3i é 0,644 radianos (36,9° = 0,644^rad), o que significa que a forma polar de 4+3i é 5ei^0,644. Medidas para r e φ também podem ser determinadas para cada um dos pontos em forma de casa, e ainda outra maneira de alcançar o efeito de dilatação/rotação de multiplicar por 4+3i é multiplicar cada r por cinco e adicionar 36,9 graus (ou 0,644^rad) para cada φ. A partir dessa demonstração, vemos que quando os números complexos são multiplicados juntos, as distâncias se multiplicam e os ângulos somam. Isso se deve a uma propriedade intrínseca aos expoentes, que pode ser mostrada algebricamente.

Usando a forma polar de números complexos para mostrar por que as distâncias se multiplicam e os ângulos somam. Crédito da imagem: Robert J. Coolman

Com a forma polar dos números complexos estabelecida, a questão da Identidade de Euler é meramente um caso especial de a+bi para a  = -1 e b = 0. Consequentemente, para a forma polar re iφ, isso faz r = 1 e φ = π (uma vez que π ^rad = 180°).

A identidade de Euler é um caso especial de a + bi para a = -1 e b = 0 e reiφ para r = 1 e φ = π. Crédito da imagem: Robert J. Coolman

Derivação da forma polar

Embora a identidade de Euler decorra da forma polar dos números complexos, é impossível derivar a forma polar (em particular o aparecimento espontâneo do número e) sem cálculo.

Um caso geral de um número complexo nas formas retangular (a + bi) e polar (reiφ). Crédito da imagem: Robert J. Coolman

Começamos com a forma retangular de um número complexo:

a + bi

A partir do diagrama e da trigonometria, podemos fazer as seguintes substituições:

(r · cos φ) + (r · sen φ) i

A partir daqui, podemos fatorar r:

r · (cos φ + i · sen φ)

Às vezes, “cos φ + i · sen φ” é denominado cis φ, que é uma abreviatura de “cosseno mais seno imaginário”.

r · cis φ

A função cis φ acaba sendo igual a e iφ. Esta é a parte impossível de mostrar sem cálculo. Duas derivações são mostradas abaixo:

Duas derivações para de cisφ = eiφ. Ambos usam alguma forma de cálculo. Crédito da imagem: Robert J. Coolman

Assim, a equação r · cis φ é escrita na forma polar padrão r · e iφ.

Recursos adicionais

• ResearchGate: O que há de especial na identidade de Euler?
• Academia.edu: Identidade de Euler - Uma Prova Matemática da Existência de Deus, de Robin Robertson
• Science4All: A mais bela equação da matemática: a identidade de Euler

Fonte: Live Science