A solução de 21 dígitos para o problema de décadas sugere que existem muito mais soluções.

Crédito: SciTechDaily

O que você faz depois de resolver a resposta para a vida, o universo e tudo mais? Se vocês são matemáticos Drew Sutherland e Andy Booker, vão para o problema mais difícil.

Em 2019, Booker, na Universidade de Bristol, e Sutherland, principal cientista pesquisador do MIT , foram os primeiros a encontrar a resposta para 42. O número tem um significado para a cultura pop como a resposta fictícia para "a questão fundamental da vida, o universo, e tudo”, como Douglas Adams escreveu em seu romance “O Guia do Mochileiro das Galáxias”. A pergunta que gera 42, pelo menos no romance, é frustrantemente, hilariamente desconhecida.

Em matemática, inteiramente por coincidência, existe uma equação polinomial para a qual a resposta, 42, havia iludido os matemáticos por décadas. A equação x³+y³+z³ = k é conhecida como o problema da soma de cubos. Embora aparentemente simples, a equação se torna exponencialmente difícil de resolver quando enquadrada como uma "equação diofantina" um problema que estipula que, para qualquer valor de k, os valores de x, y e z devem ser números inteiros.

Quando a equação da soma dos cubos é estruturada dessa maneira, para certos valores de k, as soluções inteiras para x, y e z podem crescer para números enormes. O espaço numérico que os matemáticos devem pesquisar para esses números é ainda maior, exigindo cálculos complexos e massivos.

Ao longo dos anos, os matemáticos conseguiram, por vários meios, resolver a equação, seja encontrando uma solução ou determinando que ela não deveria existir, para cada valor de k entre 1 e 100, exceto para 42.

Em setembro de 2019, os pesquisadores, aproveitando a potência combinada de meio milhão de computadores domésticos em todo o mundo, pela primeira vez encontraram uma solução para o 42. A descoberta amplamente divulgada estimulou a equipe a enfrentar um problema ainda mais difícil e, de certa forma, mais universal : encontrando a próxima solução para 3. Crédito: Christine Daniloff, MIT

Em setembro de 2019, Booker e Sutherland, aproveitando a potência combinada de meio milhão de computadores domésticos em todo o mundo, pela primeira vez encontraram uma solução para 42. A descoberta amplamente divulgada estimulou a equipe a enfrentar um problema ainda mais difícil e, de certa forma, mais universal: encontrar a próxima solução para o 3.

Booker e Sutherland publicaram agora as soluções para 42 e 3, junto com vários outros números superiores a 100, recentemente nos Anais da Academia Nacional de Ciências.

Pegando o desafio

As duas primeiras soluções para a equação x ³ + y ³ + z ³ = 3 podem ser óbvias para qualquer estudante de álgebra do ensino médio, onde x, y e z podem ser 1, 1 e 1, ou 4, 4 e -5. Encontrar uma terceira solução, no entanto, confundiu os teóricos dos números especialistas por décadas, e em 1953 o quebra-cabeça levou o matemático pioneiro Louis Mordell a fazer a pergunta: É mesmo possível saber se existem outras soluções para 3?

“Foi como se Mordell estivesse jogando o desafio”, diz Sutherland. “O interesse em resolver essa questão não é tanto para a solução em particular, mas para entender melhor como essas equações são difíceis de resolver. É uma referência contra a qual podemos nos avaliar.”

À medida que as décadas se passaram sem novas soluções para o 3, muitos começaram a acreditar que não havia nenhuma solução para ser encontrada. Mas logo depois de encontrar a resposta para 42, o método de Booker e Sutherland, em um tempo surpreendentemente curto, encontrou a próxima solução para 3:

569936821221962380720³ + (−569936821113563493509)³ + (−472715493453327032)³ = 3

A descoberta foi uma resposta direta à pergunta de Mordell: Sim, é possível encontrar a próxima solução para 3 e, além do mais, aqui está essa solução. E talvez mais universalmente, a solução, envolvendo números gigantescos de 21 dígitos que não foram possíveis de peneirar até agora, sugere que existem mais soluções lá fora, para 3 e outros valores de k.

“Houve algumas dúvidas sérias nas comunidades matemáticas e computacionais, porque [a pergunta de Mordell] é muito difícil de testar”, diz Sutherland. “Os números ficam tão grandes tão rápido. Você nunca encontrará mais do que as primeiras soluções. Mas o que posso dizer é que, tendo encontrado essa solução, estou convencido de que há infinitas outras por aí.”

Uma reviravolta da solução

Para encontrar as soluções para 42 e 3, a equipe começou com um algoritmo existente, ou uma torção da equação da soma dos cubos em uma forma que eles acreditavam que seria mais fácil de resolver:

k - z ³ = x ³ + y ³ = (x + y) (x ² - xy + y ²)

Essa abordagem foi proposta pela primeira vez pelo matemático Roger Heath-Brown, que conjeturou que deveria haver um número infinito de soluções para cada k adequado. A equipe modificou ainda mais o algoritmo, representando x + y como um único parâmetro, d. Eles então reduziram a equação dividindo ambos os lados por d e mantendo apenas o restante, uma operação em matemática denominada “módulo d” - deixando uma representação simplificada do problema.

“Agora você pode pensar em k como uma raiz cúbica de z, módulo d”, explica Sutherland. “Então, imagine trabalhar em um sistema de aritmética em que você só se preocupa com o módulo d restante e estamos tentando calcular uma raiz cúbica de k.”

Com essa versão mais elegante da equação, os pesquisadores só precisariam procurar os valores de d e z que garantiriam encontrar as soluções finais para x, y e z, para k = 3. Mesmo assim, o espaço de números que eles teriam que pesquisar seria infinitamente grande.

Assim, os pesquisadores otimizaram o algoritmo usando técnicas matemáticas de “peneiramento” para reduzir drasticamente o espaço de soluções possíveis para d.

“Isso envolve alguma teoria numérica bastante avançada, usando a estrutura do que sabemos sobre campos numéricos para evitar procurar em lugares que não precisamos procurar”, diz Sutherland.

Uma tarefa global

A equipe também desenvolveu maneiras de dividir com eficiência a pesquisa do algoritmo em centenas de milhares de fluxos de processamento paralelo. Se o algoritmo fosse executado em apenas um computador, levaria centenas de anos para encontrar uma solução para k = 3. Ao dividir o trabalho em milhões de tarefas menores, cada uma executada independentemente em um computador separado, a equipe pode acelerar ainda mais a pesquisa.

Em setembro de 2019, os pesquisadores colocaram seu plano em ação por meio do Charity Engine, um projeto que pode ser baixado como um aplicativo gratuito por qualquer computador pessoal e que é projetado para aproveitar qualquer capacidade de computação doméstica disponível para resolver coletivamente problemas matemáticos difíceis. Na época, a grade do Charity Engine compreendia mais de 400.000 computadores em todo o mundo, e Booker e Sutherland puderam executar seu algoritmo na rede como um teste da nova plataforma de software do Charity Engine.

“Para cada computador na rede, eles são informados, 'seu trabalho é procurar d’s cujo fator principal se enquadre nessa faixa, sujeito a algumas outras condições'”, diz Sutherland. “E tivemos que descobrir como dividir o trabalho em cerca de 4 milhões de tarefas, cada uma levando cerca de três horas para ser concluída por um computador.”

Muito rapidamente, a grade global retornou a primeira solução para k = 42, e apenas duas semanas depois, os pesquisadores confirmaram que haviam encontrado a terceira solução para k = 3 - um marco que marcaram, em parte, imprimindo a equação em Camisetas.

O fato de que existe uma terceira solução para k = 3 sugere que a conjectura original de Heath-Brown estava certa e que há infinitamente mais soluções além desta mais recente. Heath-Brown também prevê que o espaço entre as soluções crescerá exponencialmente, junto com suas pesquisas. Por exemplo, em vez dos valores de 21 dígitos da terceira solução, a quarta solução para x, y e z provavelmente envolverá números com estonteantes 28 dígitos.

“A quantidade de trabalho que você tem que fazer para cada nova solução aumenta em um fator de mais de 10 milhões, então a próxima solução para 3 vai precisar de 10 milhões de vezes 400.000 computadores para encontrar, e não há garantia de que seja o suficiente”, diz Sutherland. “Não sei se algum dia saberemos a quarta solução. Mas eu acredito que está lá fora.”

Esta pesquisa foi apoiada, em parte, pela Fundação Simons.

Referência: “On a question of Mordell” por Andrew R. Booker e Andrew V. Sutherland, 10 de março de 2021, Proceedings of the National Academy of Sciences .
DOI: 10.1073 / pnas.2022377118

Fonte: SciTechDaily