Uma nova solução surpreendente para o famoso “quebra-cabeça dos 36 oficiais” de Leonhard Euler oferece uma nova maneira de codificar informações quânticas.

Crédito da imagem: agawa288/Getty Images

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Um problema classicamente intratável que pede um arranjo 6 por 6 de oficiais militares pode ser resolvido, desde que os oficiais sejam quânticos.

Em 1779, o matemático suíço Leonhard Euler apresentou um quebra-cabeça que desde então se tornou famoso: seis regimentos do exército têm, cada um, seis oficiais de seis patentes diferentes. Os 36 oficiais podem ser organizados em um quadrado de 6 por 6 de modo que nenhuma linha ou coluna repita uma patente ou regimento?

O quebra-cabeça é facilmente resolvido quando há cinco fileiras e cinco regimentos, ou sete fileiras e sete regimentos. Mas depois de procurar em vão uma solução para o caso de 36 oficiais, Euler concluiu que “tal arranjo é impossível, embora não possamos dar uma demonstração rigorosa disso”. Mais de um século depois, o matemático francês Gaston Tarry provou que, de fato, não havia como organizar os 36 oficiais de Euler em um quadrado de 6 por 6 sem repetição. Em 1960, os matemáticos usaram computadores para provar que existem soluções para qualquer número de regimentos e patentes maiores que dois, exceto, curiosamente, seis.

Quebra-cabeças semelhantes fascinam as pessoas há mais de 2.000 anos. Culturas ao redor do mundo criaram “quadrados mágicos”, matrizes de números que somam a mesma soma ao longo de cada linha e coluna, e “quadrados latinos” preenchidos com símbolos que aparecem uma vez por linha e coluna. Essas áreas têm sido usadas na arte e no planejamento urbano, e apenas por diversão. Um quadrado latino popular, Sudoku, tem subquadrados que também não possuem símbolos repetidos. O quebra-cabeça dos 36 oficiais de Euler pede um “quadrado latino ortogonal”, no qual dois conjuntos de propriedades, como patentes e regimentos, satisfaçam as regras do quadrado latino simultaneamente.

Uma grade de cinco por cinco pode ser preenchida com peças de xadrez de cinco fileiras diferentes e cinco cores diferentes, de modo que nenhuma linha ou coluna repita uma classificação ou cor. Crédito da imagem: Samuel Velasco/Quanta Magazine

Mas enquanto Euler pensava que não existia tal quadrado de 6 por 6, recentemente o jogo mudou. Em um artigo publicado online e submetido à Physical Review Letters, um grupo de físicos quânticos na Índia e na Polônia demonstraam que é possível organizar 36 oficiais de uma maneira que atenda aos critérios de Euler, desde que os oficiais possam ter uma mistura quântica de patentes e regimentos. O resultado é o mais recente de uma linha de trabalho que desenvolve versões quânticas de quebra-cabeças de quadrados mágicos e quadrados latinos, que não são apenas diversão e jogos, mas também aplicações para comunicação quântica e computação quântica.

“Acho o artigo deles muito bonito”, disse Gemma De las Cuevas, física quântica da Universidade de Innsbruck que não esteve envolvida no trabalho. “Há muita magia quântica lá. E não apenas isso, mas você pode sentir em todo o artigo o amor deles pelo problema”.

A nova era do quebra-cabeça quântico começou em 2016, quando Jamie Vicary, da Universidade de Cambridge, e seu então aluno Ben Musto tiveram a ideia de que as entradas que aparecem em quadrados latinos poderiam ser quânticas.

Na mecânica quântica, objetos como elétrons podem estar em uma “superposição” de vários estados possíveis: aqui e ali, por exemplo, ou orientados magneticamente para cima e para baixo. (Os objetos quânticos permanecem nesse limbo até que sejam medidos, ponto em que se estabelecem em um estado.) Entradas de quadrados latinos quânticos também são estados quânticos que podem estar em superposições quânticas. Matematicamente, um estado quântico é representado por um vetor, que tem comprimento e direção, como uma seta. Uma superposição é a seta formada pela combinação de vários vetores. Analogamente à exigência de que os símbolos ao longo de cada linha e coluna de um quadrado latino não se repitam, os estados quânticos ao longo de cada linha ou coluna de um quadrado latino quântico devem corresponder a vetores perpendiculares entre si.

Os quadrados latinos quânticos foram rapidamente adotados por uma comunidade de físicos teóricos e matemáticos interessadosem  suas propriedades incomuns. No ano passado, os físicos matemáticos franceses Ion Nechita e Jordi Pillet criaram uma versão quântica do Sudoku, SudoQ. Em vez de usar os inteiros de 0 a 9, no SudoQ as linhas, colunas e subquadrados têm nove vetores perpendiculares.

Esses avanços levaram Adam Burchardt, pesquisador de pós-doutorado na Universidade Jagiellonian, na Polônia, e seus colegas a reexaminar o velho enigma de Euler sobre os 36 oficiais. E se, eles se perguntaram, os oficiais de Euler fossem transformados em quantum?

Na versão clássica do problema, cada entrada é um oficial com patente e regimento bem definidos. É útil conceber os 36 oficiais como peças de xadrez coloridas, cuja classificação pode ser rei, rainha, torre, bispo, cavalo ou peão, e cujo regimento é representado por vermelho, laranja, amarelo, verde, azul ou roxo. Mas na versão quântica, os oficiais são formados a partir de superposições de patentes e regimentos. Um oficial poderia ser uma superposição de um rei vermelho e uma rainha laranja, por exemplo.

Criticamente, os estados quânticos que compõem esses oficiais possuem uma relação especial chamada emaranhamento, que envolve uma correlação entre diferentes entidades. Se um rei vermelho está emaranhado com uma rainha laranja, por exemplo, mesmo que o rei e a rainha estejam em superposições de vários regimentos, observar que o rei é vermelho indica imediatamente que a rainha é laranja. É por causa da natureza peculiar do emaranhamento que os oficiais ao longo de cada linha podem ser perpendiculares.

A teoria parecia funcionar, mas para provar isso, os autores tiveram que construir uma matriz de 6 por 6 cheia de oficiais quânticos. Um grande número de configurações e complicações possíveis significava que eles precisavam contar com a ajuda do computador. Os pesquisadores conectaram uma solução quase clássica (um arranjo de 36 oficiais clássicos com apenas algumas repetições de patentes e regimentos em uma linha ou coluna) e aplicaram um algoritmo que ajustou o arranjo em direção a uma verdadeira solução quântica. O algoritmo funciona um pouco como resolver um Cubo de Rubik com força bruta, onde você fixa a primeira linha, depois a primeira coluna, a segunda coluna e assim por diante. Quando eles repetiram o algoritmo várias vezes, o conjunto de quebra-cabeças se aproximava cada vez mais de uma solução verdadeira. Eventualmente, os pesquisadores chegaram a um ponto em que podiam ver o padrão e preencher as poucas entradas restantes à mão.

De certa forma, Euler estava errado, embora não pudesse saber, no século 18, sobre a possibilidade de oficiais quânticos.

“Eles fecham o livro sobre esse problema, que já é muito legal”, disse Nechita. “É um resultado muito bonito e gosto da forma como o obtêm”

Uma característica surpreendente de sua solução, de acordo com o coautor Suhail Rather, físico do Instituto Indiano de Tecnologia Madras em Chennai, foi que as patentes de oficiais estão emaranhadas apenas com fileiras adjacentes (reis com rainhas, torres com bispos, cavalos com peões) e regimentos com regimentos adjacentes. Outra surpresa foram os coeficientes que aparecem nas entradas do quadrado latino quântico. Esses coeficientes são números que dizem, essencialmente, quanto peso dar a termos diferentes em uma superposição. Curiosamente, a razão dos coeficientes que o algoritmo pousou foi Φ, ou 1,618…, a famosa proporção áurea.

A solução também é, o que é conhecido como estado Absolutamente Emaranhado ao Máximo (AME), um arranjo de objetos quânticos que se acredita ser importante para várias aplicações, incluindo correção de erros quânticos, maneiras de armazenar informações de forma redundante em computadores quânticos para que sobrevivam mesmo se os dados forem corrompidos. Em um AME, as correlações entre as medições de objetos quânticos são tão fortes quanto podem ser: se Alice e Bob emaranharam moedas, e Alice joga sua moeda e tira cara, ela sabe com certeza que Bob tem coroa e vice-versa. Duas moedas podem ser emaranhadas ao máximo, assim como três, mas não quatro: se Carol e Dave participarem do sorteio, Alice nunca poderá ter certeza de que Bob ganhará.

A nova pesquisa prova, no entanto, que se você tiver um conjunto de quatro dados emaranhados, em vez de moedas, eles podem ser emaranhados ao máximo. O arranjo dos dados de seis lados é equivalente ao quadrado latino quântico de 6 por 6. Por causa da presença da proporção áurea em sua solução, os pesquisadores apelidaram isso de “Golden AME”.

“Acho que não é nada trivial”, disse De las Cuevas. “Não apenas que existe, mas eles fornecem o estado explicitamente e o analisam”

Os pesquisadores já criaram outros AMEs, começando com códigos clássicos de correção de erros e encontrando versões quânticas análogas. Mas o recém-descoberto Golden AME é diferente, sem análogo criptográfico clássico. Burchardt suspeita que possa ser o primeiro de uma nova classe de códigos quânticos de correção de erros. Então, novamente, pode ser igualmente interessante se o Golden AME permanecer único.

- Nota do editor: O autor deste artigo está relacionado a um editor da Physical Review Letters, onde o artigo de quadrados latinos quânticos foi submetido para publicação. Os dois não discutiram o artigo.

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Referência:

GARISTO, Daniel. O quebra-cabeça 'impossível' de 243 anos de Euler recebe uma solução quântica. Quanta Magazine, 10, jan. 2022. Disponível em: <https://www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/?gclid=CjwKCAjwzNOaBhAcEiwAD7Tb6MtNu66qffPHLSzC4jyw7alqe2_UkzSu_6kX_N3CI90xwjDFnkwSLxoCUFAQAvD_BwE>. Acesso em: 22, jan. 2022.

Marcello Franciolle F T I P E
Founder - Gaia Ciência

Marcello é fundador da Gaia Ciência, que é um periódico científico que foi pensado para ser uma ferramenta para entender o universo e o mundo em que vivemos, com temas candentes e fascinantes sobre o Universo e Ciências da Terra para inspirar e encantar as pessoas. Ele é graduando em Administração pelo Centro Universitário N. Sra. do Patrocínio (CEUNSP) – frequentou a Universidade de Sorocaba (UNISO); graduação em Análise de Sistemas e onde participou do Encontro de Pesquisadores e Iniciação Científica (EPIC). Suas paixões são literatura, filosofia, poesia e claro ciência.