A descoberta no século 19 de números chamados “quatérnios” deu aos matemáticos uma maneira de descrever as rotações no espaço, mudando para sempre a física e a matemática

Um cubo giratório com fitas anexadas retorna ao seu estado original somente após duas voltas completas, em vez de uma volta. Números quadridimensionais chamados quatérnios se comportam de maneira semelhante, assim como partículas de matéria, como elétrons e quarks. Crédito: Jason Hise

Imagine dar corda no ponteiro das horas de um relógio das 3 horas para o meio-dia. Os matemáticos sabem há muito tempo como descrever essa rotação como uma simples multiplicação: Um número que representa a posição inicial do ponteiro das horas no plano é multiplicado por outro número constante. Mas é possível um truque semelhante para descrever rotações no espaço? O senso comum diz que sim, mas William Hamilton, um dos matemáticos mais prolíficos do século 19, lutou por mais de uma década para encontrar a matemática para descrever rotações em três dimensões. A solução improvável o levou ao terceiro de apenas quatro sistemas numéricos que obedecem a um análogo próximo da aritmética padrão e ajudaram a estimular o surgimento da álgebra moderna.

Hamilton, o matemático irlandês e homônimo do operador “Hamiltoniano” na mecânica clássica e quântica, esperava sair do plano complexo adicionando um eixo j imaginário. Seria como Milton Bradley transformando “Batalha Naval” em “Batalha Submarina” com uma coluna de letras minúsculas. Mas havia algo fora das três dimensões que quebrou todos os sistemas que Hamilton poderia pensar. "Ele deve ter tentado milhões de coisas e nenhuma delas funcionou", disse John Baez, matemático da Universidade da Califórnia, Riverside. O problema era a multiplicação. No plano complexo, a multiplicação produz rotações. Por mais que Hamilton tentasse definir a multiplicação em 3-D, ele não conseguia encontrar uma divisão oposta que sempre retornasse respostas significativas.

Para ver o que torna a rotação 3D muito mais difícil, compare girar um volante com girar um globo. Todos os pontos na roda se movem juntos da mesma maneira, então eles estão sendo multiplicados pelo mesmo número (complexo). Mas os pontos do globo se movem mais rápido ao redor do equador e mais devagar à medida que você se move para o norte ou para o sul. Crucialmente, os polos não mudam nada. Se as rotações 3-D funcionassem como as rotações 2-D, explicou Baez, todos os pontos se moveriam.

A solução, que um Hamilton excelentemente esculpiu na ponte Broome de Dublin quando finalmente o atingiu em 16 de outubro de 1843, foi colocar o globo em um espaço maior, onde as rotações se comportam mais como em duas dimensões. Com não dois, mas três eixos imaginários, i , j  e k , mais a reta numérica real a , Hamilton poderia definir novos números que são como setas no espaço 4-D. Ele os chamou de “quatérnios” (Quaternião). Ao anoitecer , Hamilton já havia esboçado um esquema para girar setas 3-D: Ele mostrou que estes poderiam ser pensados como quatérnios simplificados criados pela definição de a , a parte real, igual a zero e mantendo apenas os componentes imaginários  i ,j  e k — um trio para o qual Hamilton inventou a palavra “vetor”. Girar um vetor 3-D significava multiplicá-lo por um par de quatérnios 4-D completos contendo informações sobre a direção e o grau de rotação. Para ver a multiplicação de quatérnios em ação, assista ao vídeo recém-lançado abaixo pelo popular animador matemático 3Blue1Brown.

Tudo o que você poderia fazer com os números reais e complexos, você poderia fazer com os quatérnios, exceto por uma diferença chocante. Enquanto 2 × 3 e 3 × 2 são iguais a 6, a ordem é importante para a multiplicação de quatérnios. Os matemáticos nunca haviam encontrado esse comportamento em números antes, embora reflita como os objetos do cotidiano giram. Coloque o telefone virado para cima em uma superfície plana, por exemplo. Gire-o 90 graus para a esquerda e, em seguida, e, em seguida, afaste-o de você. Observe para que lado a câmera aponta. Voltando à posição original, vire-o para longe de você primeiro e depois gire-o para a esquerda. Veja como a câmera aponta para a direita? Essa propriedade inicialmente alarmante, conhecida como não comutatividade, acaba sendo uma característica que os quatérnios compartilham com a realidade.

Mas também havia um bug no novo sistema numérico. Enquanto um telefone ou flecha gira em 360 graus, o quatérnio que descreve essa rotação de 360 ??graus gira apenas 180 graus para cima no espaço quadridimensional. Você precisa de duas rotações completas do telefone ou da seta para trazer o quatérnio associado de volta ao seu estado inicial. (Parar depois de uma volta deixar o quatérnio invertido, por causa da forma como os números imaginários quadrados para -1.) Para um pouco de intuição sobre como isso funciona, dê uma olhada no cubo giratório acima. Uma volta torce as correias anexadas enquanto a segunda as suaviza novamente. Quatérnios se comportam de forma semelhante.

Setas invertidas produzem sinais negativos espúrios que podem causar estragos na física, então quase 40 anos após o vandalismo da ponte de Hamilton, os físicos entraram em guerra uns com os outros para impedir que o sistema quatérnio se tornasse padrão. As hostilidades eclodiram quando um professor de Yale chamado Josiah Gibbs definiu o vetor moderno. Decidir que a quarta dimensão era muito trabalhosa, Gibbs decapitou a criação de Hamilton cortando completamente o termo a: O spinoff de quatérnios de Gibbs manteve a notação i, j, k, mas dividiu a regra complicada para multiplicar quatérnios em operações separadas para multiplicar vetores que todo estudante de matemática e física aprende hoje: O produto escalar e o produto vetorial: O produto escalar e o produto vetorial. Os discípulos de Hamilton rotularam o novo sistema de “monstro”, enquanto os fãs de vetores depreciaram os quatérnios como “vexatórios” e um “mal puro”. O debate durou anos nas páginas de jornais e panfletos, mas a facilidade de uso acabou levando os vetores à vitória.

Os quaternios definhariam na sombra dos vetores até que a mecânica quântica revelasse sua verdadeira identidade na década de 1920. Enquanto os 360 graus normais são suficientes para girar completamente os fótons e outras partículas de força, os elétrons e todas as outras partículas de matéria levam duas voltas para retornar ao seu estado inicial. O sistema numérico de Hamilton vinha descrevendo essas entidades ainda não descobertas, agora conhecidas como “espinor”, durante todo esse tempo.

Ainda assim, os físicos nunca adotaram quatérnios em seus cálculos do dia-a-dia, porque um esquema alternativo para lidar com espinores foi encontrado com base em matrizes. Somente nas últimas décadas os quatérnios experimentaram um renascimento. Além de sua adoção em computação gráfica, onde servem como ferramentas eficientes para calcular rotações, os quatérnios vivem na geometria de superfícies de dimensões superiores. Uma superfície em particular, chamada variedade hyperkähler (Em geometria diferencial, uma variedade hyperkähler é uma variedade Riemanniana dotada de três estruturas quase complexas integráveis {\displaystyle I, J, K} que são Kähler em relação a g e satisfazem as relações quaterniônicas {\displaystyle I^{2}=J^ {2}=K^{2}=IJK=-1}. Em particular, é uma variedade hipercomplexa), tem a característica intrigante de permitir que você traduza para frente e para trás entre grupos de vetores e grupos de espinores, unindo os dois lados da guerra vetor-álgebra. Uma vez que os vetores descrevem as partículas de força enquanto os espinores descrevem as partículas de matéria, essa propriedade é de extremo interesse para os físicos que se perguntam se existe na natureza uma simetria entre matéria e forças, chamada supersimetria. (No entanto, se isso acontecer, a simetria teria que ser severamente quebrada em nosso universo)

Para os matemáticos, enquanto isso, os quatérnios nunca perderam o brilho. “Assim que Hamilton inventou os quatérnios, todos e seu irmão decidiram criar seu próprio sistema numérico”, disse Baez. “A maioria era completamente inútil, mas eventualmente… eles levaram ao que hoje chamamos de álgebra moderna”. Hoje, os algebristas abstratos estudam uma vasta gama de sistemas numéricos em qualquer número de dimensões e com todos os tipos de propriedades exóticas.

Uma construção não tão inútil acabou sendo o quarto e último sistema numérico que permite um análogo de multiplicação e uma divisão associada, descoberto logo após os quatérnios pelo amigo de Hamilton, John Graves. Alguns físicos suspeitam que esses “octônios” peculiares de oito dimensões podem desempenhar um papel profundo na física fundamental.

“Acho que ainda há muito mais para descobrir sobre a geometria baseada nos quatérnios”, disse Nigel Hitchin, geômetra da Universidade de Oxford, “mas se você quer uma nova fronteira, então são os octônios”.

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Referência:

WOOD, Charlie. The Strange Numbers That Birthed Modern Algebra. Quanta Magazine, 06, set. 2018. Disponível em: <https://www.quantamagazine.org/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra-20180906/#:~:text=The%2019th%2Dcentury%20discovery%20of,turns%2C%20rather%20than%20one%20turn.>. Acesso em: 23, out. 2022.

Marcello Franciolle F T I P E
Founder - Gaia Ciência

Marcello é fundador da Gaia Ciência, que é um periódico científico que foi pensado para ser uma ferramenta para entender o universo e o mundo em que vivemos, com temas candentes e fascinantes sobre o Universo e Ciências da Terra para inspirar e encantar as pessoas. Ele é graduando em Administração pelo Centro Universitário N. Sra. do Patrocínio (CEUNSP) – frequentou a Universidade de Sorocaba (UNISO); graduação em Análise de Sistemas e onde participou do Encontro de Pesquisadores e Iniciação Científica (EPIC). Suas paixões são literatura, filosofia, poesia e claro ciência.