Antes da Terceira Lei de Johannes Kepler, os movimentos dos planetas ao redor do Sol eram um mistério.

A Terceira Lei de Kepler revelou os mistérios dos movimentos em nosso sistema solar. Crédito da imagem: Getty Images

A Terceira Lei de Kepler é o último dos teoremas revolucionários dos astrônomos alemães Johannes Kepler e explica as órbitas planetárias ao redor do sol.

Antes de Kepler delinear suas leis do movimento planetário no início do século 17, o conhecimento da humanidade sobre o sistema solar e além estava em sua infância e permanecia um grande mistério. Na época de Kepler, a noção era que a Terra era o centro do sistema solar, e talvez do próprio universo.

Mesmo os modelos heliocêntricos mais precisos do sistema solar, que colocavam o Sol em seu centro, estavam incompletos, sugerindo que os planetas se moviam em círculos organizados ao redor de suas estrelas.

As leis de Kepler mudariam ligeiramente a estrela do centro deste modelo para um ponto focal, achatando as órbitas dos planetas e sugerindo que esses corpos planetários se movem a velocidades que variam dependendo da proximidade de sua estrela.

JOHANNES KEPLER

As primeiras sementes das leis de Kepler foram plantadas antes de seu nascimento em 1571 nas Cidades Livres e Imperiais de Weil der Stadt, que agora faz parte da Região de Stuttgart, no estado alemão de Baden-Württemberg, pai Heinrich Kepler e a mãe Katharina Guldenmann.

Eles são anteriores à observação do Grande Cometa, em 1577, o que gerou no jovem um fascínio pela astronomia que duraria por toda a vida. Ou sua observação de um eclipse lunar em 1580 que cimentou essa preocupação.

Um evento mais significativo para Kepler ocorreu em 1543, antes de seu nascimento, quando Nicolau Copernico publicou sua teoria de que a Terra gira em torno do sol em seu livro On the Revolutions of the Celestial Spheres. 

A teoria desencadearia uma grande revolução científica, apropriadamente chamada de revolução copernicana. Kepler e outros acabariam pegando essa onda e se baseando no trabalho de Copérnico para derrubar modelos geocêntricos que sugeriam que o sol e os outros corpos do sistema solar giravam em torno da Terra.

Johannes Kepler foi um astrônomo e matemático alemão nascido em 1571. Crédito da imagem: Getty Images

Em agosto de 1600, Kepler foi banido de Graz, Áustria, liberando-o para viajar pelo Danúbio até Praga, para trabalhar para o famoso astrônomo Tycho Brahe. 

Brahe foi considerado na época o autor das observações mais precisas da astronomia e viu o potencial dos estudos de Kepler. Isso não significava que ele confiava inteiramente em seu novo assistente.

Kepler foi exposto apenas a parte dos dados planetários de Brahe, para não eclipsar seu novo mentor. Esse medo do potencial de Kepler pode muito bem ter sido a motivação de Brahe para definir-lhe a tarefa de compreender melhor a órbita de Marte. Enquanto Kepler trabalhava neste problema, Brahe começou a aperfeiçoar seu próprio modelo geocêntrico do sistema solar com a Terra em seu centro. 

A órbita de Marte, apenas não se encaixava bem no modelo geocêntrico, mas também era um problema para os primeiros modelos copernicanos que sugeriam que as órbitas dos planetas eram círculos perfeitos.

Assim, Kepler chegou à conclusão de que as órbitas dos planetas não eram circulares, mas sim círculos achatados ou elipses. Ao entregar a Kepler o estudo da órbita de Marte, a órbita planetária mais elíptica, Brahe involuntariamente desvendou seu próprio modelo geocêntrico antes de sua conclusão e facilitou a criação de leis que ajudariam a cimentar o heliocentrismo como o modelo aceito do sistema solar.

Um diagrama da trajetória geocêntrica de Marte. A investigação de Kepler da órbita do Planeta Vermelho levaria às suas duas primeiras leis planetárias. Crédito da imagem: Johannes Kepler/PD-US

PROPRIEDADES DAS ELIPSES: LEIS UM E DOIS

Uma das chaves para compreender as leis de Kepler do movimento planetário reside nas propriedades das elipses.

A primeira propriedade das elipses é que são definidas por dois pontos de foco, o foci. A soma das distâncias a qualquer ponto de uma elipse é sempre uma constante. Para órbitas planetárias, isso leva à primeira lei de Kepler, “a órbita de um planeta é uma elipse com o Sol em um dos dois focos”.

Isso significa que o planeta e sua estrela orbitam um centro de massa mútuo, mas como a massa da estrela é muito maior que o seu planeta, esse centro de massa não está apenas mais perto da estrela, geralmente está abaixo de sua superfície.

A segunda propriedade de uma elipse define a diferença entre esta forma e um círculo. Uma elipse é um círculo achatado, esta “planicidade” é definida como excentricidade e assume um valor entre 0 e 1. Portanto, um círculo perfeito pode ser pensado como uma elipse com uma excentricidade de 0. Uma parábola seria uma elipse com uma excentricidade de 1.

Para a segunda lei de Kepler, imagine um planeta em uma órbita elíptica com uma linha que o une à sua estrela-mãe. Conforme o planeta se move, a linha varre uma área que é a mesma o tempo todo.

O período orbital do planeta é encontrado medindo-se o tempo decorrido entre a passagem da Terra pelo sol. Uma vez que o período orbital é conhecido, a Terceira Lei de Kepler é aplicada para determinar a distância média do planeta de suas estrelas.(Crédito da imagem: NASA Ames

No entanto, por causa da excentricidade, quando um planeta está mais perto de sua estrela, a linha entre os dois é mais curta. Isso significa que a área traçada é mais rasa. Assim, para mapear a mesma área no mesmo período de tempo, o planeta deve se mover mais rapidamente.

Portanto, a segunda lei de Kepler nos diz que quando um planeta está mais próximo de sua estrela, um ponto denominado periélio, move-se o mais rápido. Por outro lado, quando o planeta está mais longe de sua estrela, no afélio, o planeta se move mais lentamente.

É natural agrupar essas duas leis, pois nasceram das observações bem guardadas de Brahe e foram publicadas juntas na obra Astronomia nova (New Astronomy) de 1609. 

A terceira lei de Kepler, também conhecida como Lei da Harmonia, levaria mais dez anos para ser formulada. Publicado em 1619, ele revelaria a mecânica do sistema solar em detalhes sem precedentes.

UMA TERCEIRA LEI HARMÔNICA

“O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior de sua órbita”. 

Essa é a Terceira Lei de Kepler em poucas palavras, e surge da terceira propriedade física das elipses, relacionada aos seus vários pontos de eixo. O eixo mais longo da elipse é chamado de eixo principal, enquanto o eixo mais curto é chamado de eixo menor. Metade do eixo maior é denominado semieixo maior.

A equação para a Terceira Lei de Kepler é P² = a³, então o período da órbita de um planeta (P) ao quadrado é igual ao semieixo maior da órbita (a) ao cubo quando é expresso em unidades astronômicas. 

O que a Terceira Lei de Kepler realmente faz é comparar o período orbital e o raio da órbita de um planeta com o de outros planetas. Assim, ao contrário da primeira e segunda leis de Kepler que descrevem as características de movimento de um único planeta, a terceira lei do astrônomo compara o movimento de planetas diferentes e calcula as harmonias dos planetas.

Essa comparação toma a forma da razão dos quadrados dos períodos (T²) para os cubos de suas distâncias médias do sol (R³), encontrando-se igual para todos os planetas.

Graças a essa lei, se sabemos a distância de um planeta de sua estrela, podemos calcular o período de sua órbita e vice-versa. Como a distância entre a Terra e o sol (1 UA) é de cerca de 92.960.000 milhas (149.600.000 quilômetros) e um ano terrestre tem 365 dias, a distância e o período orbital de outros planetas podem ser calculados quando apenas uma variável é conhecida. 

Para o sistema solar, isso nos dá uma imagem precisa da órbita de cada planeta ao redor do sol. 

À medida que as distâncias de um planeta ao Sol aumentam, o tempo que levam para orbitar o Sol aumenta rapidamente.

Por exemplo, Mercúrio, o planeta mais próximo do Sol, completa uma órbita a cada 88 dias. O terceiro planeta do sol, a Terra, leva cerca de 365 dias para orbitar o sol. E Saturno, o sexto planeta do sistema solar a partir de sua estrela, leva 10.759. Naturalmente, a Lei Harmônica não nos fala apenas sobre as órbitas dos planetas. 

USANDO A TERCEIRA LEI DE KEPLER

Uma coisa que pode ser perceptível para você sobre a Terceira Lei de Kepler é que ela não faz menção à massa de um objeto. No entanto, graças à aplicação das leis da gravidade de Newton, os físicos chegam a uma forma mais generalizada da equação. 

Esta forma generalizada da equação da terceira lei pode ser usada para encontrar as massas dos corpos envolvidos no sistema descrito. Dadas a massa 1 (m1) e a massa 2 (m2), as massas dos dois corpos, m1 que descreve a estrela são geralmente tão significativamente maiores do que m2 que a massa do corpo orbital pode ser ignorada.

E com isso em mente, a Lei Harmônica foi usada com sucesso para calcular as massas dos planetas em nosso sistema solar, com massas precisas e densidades médias encontradas para Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. 

Isso se estende além de planetas e estrelas e pode ser aplicado a planetas e suas luas e até mesmo satélites artificiais colocados em órbita ao redor deles.

A recente colocação de satélites artificiais em torno de Vênus permitiu que a massa e a densidade média de Vênus fossem encontradas com precisão. Além disso, a massa total do sistema Plutão-Caronte foi determinada usando a lei harmônica. 

Os astrônomos usaram com sucesso a terceira lei para obter medições das órbitas altamente elípticas dos cometas ao redor do sol.

Mas a Terceira Lei de Kepler não é útil apenas no sistema solar.

TERCEIRA LEI DE KEPLER ALÉM DO SISTEMA SOLAR

Os astrônomos descobriram mais de 4.000 planetas além do sistema solar e, graças às leis de Kepler, podem calcular suas órbitas e suas massas.

Como outras estrelas têm massas diferentes do Sol, a Terceira Lei de Kepler passa por um pequeno ajuste para calcular as massas de seus planetas. Para exoplanetas, a fórmula é modificada para levar em conta a variação na massa da estrela em comparação com o nosso sol. Assim, os astrônomos usam R = (T² x Ms)¹/3 onde Ms é a massa da estrela em relação à massa do nosso sol, para calcular a massa de um exoplaneta.

Uma ilustração do conceito de artista do exoplaneta 55 Cancri e orbitando em torno de um sistema estelar binário. A terceira lei de Kepler foi vital na investigação de tais sistemas estelares. Crédito da imagem: NASA/JPL-Caltech

A Terceira Lei de Kepler, em combinação com sua segunda lei, nos permitiu derivar as massas das estrelas em sistemas binários, vitais para a compreensão tanto da estrutura quanto da evolução das estrelas.

Para fazer isso, os astrônomos usam a função de massa binária, que é derivada da terceira lei de Kepler e do fato de que os corpos orbitam um centro de gravidade mútuo. Ao considerar estrelas e planetas, isso está muito mais perto do que a estrela por causa da massa muito menor do planeta. Para estrelas binárias, no entanto, não podemos fazer as mesmas suposições e não podemos simplesmente desconsiderar m2, porque nesses casos está muito mais próximo de m1. Felizmente, para estrelas binárias, se os astrônomos conhecem o período das estrelas (T) e sua separação média (a), então eles ainda podem calcular a soma das massas das duas estrelas.

Isso significa que a Lei Harmônica agora é usada em sistemas planetários totalmente diferente do nosso. Sistemas com os quais Kepler mal poderia ter sonhado, quando ele começou no Grande Cometa no século 16.

Johannes Kepler morreu em 15 de novembro de 1630.

Além de suas leis de movimento planetário, seu legado vive na forma dos telescópios espaciais Kepler, que fizeram contribuições vitais para a descoberta de planetas fora do sistema solar e crateras na Lua e em Marte, entre uma série de outras coisas.

É claro que nenhum astrônomo ou cientista pode receber o crédito por nossa compreensão do Universo. A maior lacuna nas leis de Kepler era o fato de que o primeiro astrônomo não conseguia explicar a força que mantinha os planetas com a relação à que ele observava.

Assim como Kepler construiu a partir da obra de Copérnico, Isaac Newton eventualmente apareceria e usaria as leis de Kepler para derivar sua teoria da gravidade. E Albert Einstein acabaria por se basear neste trabalho para desenvolver sua teoria da relatividade geral.

Há uma boa chance de que, quando Newton disse a famosa frase “Se eu vi mais longe, foi sobre os ombros de gigantes”, ele teve Kepler e suas leis do movimento planetário em primeiro plano em sua mente.

RECURSOS ADICIONAIS

• Harmonias do mundo
• Johannes Kepler: E a Nova Astronomia (Oxford Portraits in Science)
• NASA: Leis de Kepler do Movimento Planetário Descritas Usando Satélites Terrestres

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Referência:

LEA, Robert. Kepler’s Third Law: The movement of solar system planets. Space, 21, dez. 2021. Disponível em: <https://www.space.com/keplers-third-law>. Acesso em: 05, jan. 2022.